質点と剛体とは

実物は形も変形もありますが、議論を単純にするために 理想化したモデル を使います。ニュートン力学や 仕事とエネルギーの式は、だいたいこのモデル上で書かれます。

位置ベクトルと速度（向きがある運動）

向きがある運動とは、直線の距離だけでは足りず、空間のどちらへ進むかが問題になる動きです。質点では次のふたつで追います。

位置ベクトル

原点（決めた基準点）から、その瞬間の質点のいる場所へ向かう矢印が 位置ベクトル です。時刻で変わるので、記号ではだいたい「太字の r に t を添える」形で書きます（成分で $(x(t),,y(t),,z(t))$ のようにしても同じ情報）。

意味：いま どこにいるか。

速度

位置が時間でどう変わるかの変化率が 速度 です（位置の時間微分）。

$$ \mathbf{v} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} $$

意味：いま どの向きに、どれだけ速く 動いているか。速さだけ取り出した スカラー は速度ベクトルの大きさ（ノルム）です。

一文で

変位と、デルタ、スカラー（補足）

変位 $\Delta\mathbf{r}$ は、ある区間の はじめの位置ベクトル $\mathbf{r}_i$ と おわりの位置ベクトル $\mathbf{r}_f$ の差（位置の変化）です。

$$ \Delta\mathbf{r} = \mathbf{r}_f - \mathbf{r}_i $$

添字の $i$ と $f$ は、initial / final（始まり・終わり）の略としてよく出ます。同じ内容を $\mathbf{r}_1,,\mathbf{r}_2$ や、時刻で添える本もあります。

変位の方向は、出発点から到達点へ向かう向き（二点を直線で結んだ矢印の向き）です。曲がった道に沿った進行方向や、瞬間の速度の向きとは一般に一致しません。

**道のり（距離）**は、通った経路の長さの足し合わせで、スカラーです。一方、変位の大きさ $|\Delta\mathbf{r}|$ は始点と終点の直線距離で、曲がって進んだ距離とは一般に違います。

スカラーは、向きを持たない量（大きさと符号、または大きさだけ）です。典型例は質量、時間、速さ（速度ベクトルの大きさ $|\mathbf{v}|$）などです。ベクトルは向きと大きさの両方が要る量です（位置、変位、速度、力など）。

**$\Delta$（デルタ）**は 「ベクトルだよ」印ではありません。 ふつう 変化量・差分 を表します。例：$\Delta t$ は時間幅（スカラー）、$\Delta\mathbf{v}$ は速度の変化（ベクトル）。ベクトルかどうかは、元の量の種類で決まります。

$\Delta\mathbf{r}$ の $\mathbf{r}$ は、上の節の 位置ベクトルと同じ記号の流れでよいです（radius vector の r と同じ系）。$\Delta$ は 「位置の変化」 を意味するだけで、別種の文字ではありません。

記号と語の由来（補足）

$t$ … 多くの教材で 時間（time） の記号として使います。単位は SI では秒（s）です。

$\mathbf{r}$（太字）… 位置ベクトルを表す慣習が強いです。同じ文字を 太字にしない $r$ だけにすると、文脈によっては 原点からの距離（$|\mathbf{r}|$、スカラー）を指すこともあります。迷ったら、その式が 向き付きか、長さだけか を確認します。

なぜ「位置」に r か … 厳密な国際ルールではなく、慣習に近いです。英語では原点から点への矢印を radius vector と呼ぶことがあり、radius（半径）の頭文字 r と結びつけて説明されることが多いです。別の本では位置を $\mathbf{x}$ など別記号にすることもあります。

radius と vector を並べる理由 … radius だけだと、狭い日本語の「半径」は 円や球の中心から円周までの長さ に強く結びつきますが、英語 radius の語源はラテン語で 車輪のスポーク や 光線・半直線 に近く、「中心から外へ伸びる一本」 のイメージが本体です。座標の 原点を中心 とみなすと、そこから質点までの半直線は 円の半径と同じ構図（中心→外）です。vector がつくのは、長さだけでなく 向き も一緒に表すからです（向きのない量はスカラー、向き付きの量はベクトル）。

まとめ：語としての radius vector は、「原点から質点へ向かう半直線を、矢印（ベクトル）として書いたもの」と読むと、radius と vector の両方の意味がつながります。

質点（particle / 質点近似）

物体の大きさ・向きを無視し、質量をもつ 点 としてだけ扱うモデルです。

• 複数物体なら 質点系として、外力・内力の区別がつく。

いつ使うか：物体のサイズが問題のスケールに比べて十分小さいとき（惑星を点とみなすなど）、または最初の近似として。

質点近似をもう少しだけ（「大きさを落とす」とは）

大きさを落とすとは、物体を 広がりのある塊 ではなく、質量がすべて重心（質量中心）に集まった一つの点として扱う、という意味です。周りの天体から受ける引力の主役は 重心同士の距離と引力の法則 になりやすいので、軌道の入門ではこの書き方が使われます。

二体ではきれいには、それぞれが 共通の重心（バリセンター）のまわり を動きます。太陽と地球のように一方がとても重いと、重い側はほとんど動かず、軽い側がほぼ周っているように近似できることがあります。

太陽系では、太陽の質量が太陽系全体のおおよそ 99.8% を占める、という言い方がよく使われます（系の定義で数値は多少前後し得ますが、圧倒的に太陽が重い、という点は同じです）。したがって、太陽と太陽系内の任意の惑星の二体の共通重心は、太陽の中心付近に極めて近く、入門の描き方として 「惑星は太陽のまわりを回る」 と先に思ってかまいません。木星のように重い惑星では重心が太陽の外に出る程度に動く、といった補正は後から足せます。

軌道計算に「質量だけ」で足りるか

足りません。 引力は 向き（だいたい二体を結ぶ線に沿って互いに引き合う）と 大きさ の両方が式に入り、加速度は $\mathbf{F}=m\mathbf{a}$ なので 力の向き＝加速度の向き（速度の向きとは別問題）です。

軌道を決めるには、通常 ある瞬間の位置と速度の両方（初期条件）が要ります。位置だけでは、同じ円でも楕円でもあり得るためです。

引力の向きと、進む向き（速度）

二体を質点とみなす典型モデルでは、一方が受ける引力は 相手の中心方向（内向き）です。一方、惑星の 進行方向 は 軌道に接する方向（接線） です。

円軌道では、接線はその点での 半径に垂直 です（中心から惑星へ向かう半直線と、進行方向はざっくり直角）。だから 「引力（内向き）」と「進む向き」は一般に一致しない のが普通です。一致するのは、例外的な状況（真っ直ぐ落下するだけ等）に限られます。

楕円軌道では「半径」と一口に言いにくく、円のときほど 各点で常に 90° と整理できないこともあります。まずは 円 で、内向きの力と 接線方向の速度 を分けて考えるとよいです。

半径・形・自転を入門で後回しにする理由

惑星の 半径・形・自転 は、精密な軌道・潮汐・長期変化では効いてきますが、教科書の最初の軌道モデルでは いったん効かないと置いて 式を運びやすくします。これも 質点近似の便利さ の一部です（その近似が常に正しいわけではありません）。

剛体（rigid body）

「変形しない個体」として扱うとは

物体内部の 任意の二点 同士の距離が いつも一定 だと仮定する固体のモデルです。現実の固体は力を受ければ少し伸びたり曲がりますが、剛体では 伸び・しわ・ねじれをゼロ にした理想化です。

ここでいう 個体 は、一つのまとまった物体 をひとかたまりとして扱う、という意味に近いです。質点のように 大きさゼロの点 ではなく、大きさと向きのある一塊として書きます。そのうえで 内部の形は固定（点同士の距離が不変）なので、運動はだいたい 並進（全体が滑るように動く成分）と 回転（向きが変わる成分）に分けて整理できます。

• 慣性モーメントなど、質点にはない量が出てくる。
• はり・車輪・剛体アームのような問題でも、まず剛体近似がよく使われます。

いつ使うか：変形が問題のスケールに比べて 無視できる とき、または回転・トルク・角運動量・バランスが主役のとき。

いつ困るか：衝突で大きく変形する、ゴムのように伸びる、橋のたわみのように しなりが主役 のときは剛体近似を捨て、弾性体など別モデルに移ります。

近似とは

近似（approximation）とは、本物や厳密な式の代わりに、もっと単純なもので「だいたい同じになる」ように置き換えることです。

• 捨てる：問題にとって小さい効果、細かい構造、式を重くする項などを無視する。
• 置き換える：複雑な形を、質点・剛体・一様な球など 扱いやすいモデル にかえる。

結果として答えは厳密には一致しませんが、求める精度や目的（傾向がわかればよい、など）には足りる、というトレードオフです。よい近似とは、捨ててよいものだけを捨てている状態のことです。

惑星を例にしたモデルの選び方

「惑星は常に剛体でも質点でもよい」のではなく、何を調べるかで近似を選ぶのが実際です。惑星も現実には変形し大きさもありますが、点でも剛体でもないのが本質で、どちらも 近似 です。

質点として書く章と剛体として書く章を 同時に一つの式に混ぜる のではなく、問題ごとにどちらの近似が主か を決める、と読むと整理しやすいです。

ざっくりまとめ

関連

• 質点と剛体（索引）
• 力学（索引）
• 古典力学史
• ニュートン力学
• 振動